תשובה:

בגמרא בתענית (כט.) מבואר שבית המקדש חרב בתשיעי אך רובו נשרף בעשירי. לכן ר' יוחנן אומר שהיה קובע את תשעה באב בעשרה באב, אולם חכמים אומרים שתחילת הפורענות עדיפה, ולכן קבעו את תשעה באב. 

הירושלמי (תענית, פ"ד, ה"ו) מביא גם הוא דרשה כזו, ואף מעיד על אמוראים שצמו תשיעי ועשירי, או לפחות תשיעי וליל עשירי.

לאור גמרות אלו כתב השו"ע (תקנא, א) שמנהג כשר שלא לאכול בשר ולא לשתות יין בליל עשירי. הרמ"א הוסיף שיש להחמיר בכך עד חצות היום של עשרה באב:

בתשעה באב לעת ערב הציתו אש בהיכל ונשרף עד שקיעת החמה ביום עשירי, ומפני כך מנהג כשר שלא לאכול בשר ושלא לשתות יין בליל עשירי ויום עשירי. 

הגה: ויש מחמירין עד חצות היום ולא יותר (הגהות מיימוני).

השו"ע נקט "בשר ויין". האם הדבר כולל גם את שאר דיני האבלות? המהרש"ל, הב"ח והמגן אברהם כתבו שהוא הדין גם ביחס לכיבוס, תספורת ורחצה, כדרך שמחמירים בתשעת הימים. מאידך, לדעת המאמר מרדכי האיסור הוא רק ביחס לבשר ויין, ואילו שאר הדברים מותרים. 

הביאור הלכה (שם ד"ה עד חצות) מביא את דבריו אך כותב שקשה להקל למעשה כי הרבה אחרונים אוסרים (אמנם, הספרדים אוסרים רק בשר ויין, וכך דעת הברכי יוסף שם).

מכל מקום, כיוון שרבים מתירים, נראה שניתן להקל בכיבוס כשיש לחץ לצאת לדרך לכמה ימים ביום שלמחרת הצום וכדומה, ועדיף שיתחיל בכיבוס לבנים וכדומה (ונכון להתחיל בבגדי ילדים קטנים עד גיל מצוות, ויכול לצרף לכביסה זו מה שירצה) שאותם מסתבר שמותר מעיקר הדין לכבס אפילו בתשעת הימים. 

לכן למעשה, אתה יכול לכבס את כל הבגדים במוצאי תשעה באב, גם אם יש מספיק לבנים וכו', כדאי שלא יחסר לך שום דבר.